[정답] $8$

조건 (가)에 \(x=2\) 를 대입하면

$9 P(2)=0 \times P(5) \quad \therefore ~P(2)=0$

조건 (가)에 \(x=-7\) 을 대입하면

$0 \times P(-7)=-9 P(-4) \quad \therefore P(-4)=0$

\(P(x-1)\) 을 \(x^2+3 x+1\) 로 나눈 몫을 \(a x+b\) 라고 하면

$P(x-1)=\left(x^2+3 x+1\right)(a x+b)-x+3 ~\cdots\cdots$ ①

①에 \(x=3\)을 대입하면

$  P(2)=(9+9+1)(3 a+b)-3+3  ~\cdots\cdots$ ②

$P(2)=0$ 이므로

$19(3 a+b)=0$

①에 \(x=-3\)을 대입하면

$  P(-4)=(9-9+1)(-3 a+b)+3+3 $    

$ P(-4)=0 $이므로 $-3 a+b+6=0 ~\cdots\cdots$ ③

②, ③을 연립하여 풀면

$a=1, ~b=-3$

① 에서

$P(x-1)=\left(x^2+3 x+1\right)(x-3)-x+3$

이 식에 \(x=-1\) 을 대입하면

$P(-2)   =(1-3+1)(-1-3)+1+3   =8$